趣味數(shù)學(xué)]七座橋的故事
時(shí)間:2008-11-26 09:37:26
趣味數(shù)學(xué)]七座橋的故事
布格河橫貫康尼斯堡城區(qū),它有兩條支流,一條稱(chēng)新河,另一條叫舊河,兩河在城中心會(huì)合后,成為一條主流,叫做大河。在新舊兩河與大河之間,夾著一塊島形地帶,這里是城市的繁華地區(qū)。全城分為北、東、南、島四個(gè)區(qū),各區(qū)之間共有七座橋梁聯(lián)系著。
人們長(zhǎng)期生活在河畔、島上,來(lái)往于七橋之間。有人提出這樣一個(gè)問(wèn)題:能不能一次走遍所有的七座橋,而每座橋只準(zhǔn)經(jīng)過(guò)一次?問(wèn)題提出后,很多人對(duì)此很感興趣,紛紛進(jìn)行試驗(yàn),但在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里,始終未能解決。最后,人們只好把這個(gè)問(wèn)題向俄國(guó)科學(xué)院院士歐拉提出,請(qǐng)他幫助解決。
公元1737年,歐拉接到了“七橋問(wèn)題”,當(dāng)時(shí)他三十歲。他心里想:先試試看吧。他從中間的島區(qū)出發(fā),經(jīng)過(guò)一號(hào)橋到達(dá)北區(qū),又從二號(hào)橋回到島區(qū),過(guò)四號(hào)橋進(jìn)入東區(qū),再經(jīng)五號(hào)橋到達(dá)南區(qū),然后過(guò)六號(hào)橋回到島區(qū)?,F(xiàn)在,只剩下三號(hào)和七號(hào)兩座橋沒(méi)有通過(guò)了。顯然,從島區(qū)要過(guò)三號(hào)橋,只有先過(guò)一號(hào)、二號(hào)或四號(hào)橋,但這三座橋都走過(guò)了。這種走法宣告失敗。歐拉又換了一種走法:
島東北島南島北
這種走法還是不行,因?yàn)槲逄?hào)橋還沒(méi)有走過(guò)。
歐拉連試了好幾種走法都不行,這問(wèn)題可真不簡(jiǎn)單!他算了一下,走法很多,共有
7×6×5×4×3×2×1=5040(種)。
好家伙,這樣一種方法,一種方法試下去,要試到哪一天,才能得出答案呢?他想:不能這樣呆笨地試下去,得想別的方法。
聰明的歐拉終于想出一個(gè)巧妙的辦法。他用A代表島區(qū)、B、C、D分別代表北、東、西三區(qū),并用曲線弧或直線段表示七座橋,這樣一來(lái),七座橋的問(wèn)題,就轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分支“圖論”中的一個(gè)一筆畫(huà)問(wèn)題,即能不能一筆頭不重復(fù)地畫(huà)出上面的這個(gè)圖形。
歐拉集中精力研究了這個(gè)圖形,發(fā)現(xiàn)中間每經(jīng)過(guò)一點(diǎn),總有畫(huà)到那一點(diǎn)的一條線和從那一點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的一條線。這就是說(shuō),除起點(diǎn)和終點(diǎn)以外,經(jīng)過(guò)中間各點(diǎn)的線必然是偶數(shù)。像上面這個(gè)圖,因?yàn)槭且粋€(gè)封閉的曲線,因此,經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)的線都必須是偶數(shù)才行。而這個(gè)圖中,經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的線有五條,經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的線都是三條,沒(méi)有一個(gè)是偶數(shù),從而說(shuō)明,無(wú)論從那一點(diǎn)出發(fā),最后總有一條線沒(méi)有畫(huà)到,也就是有一座橋沒(méi)有走到。歐拉終于證明了,要想一次不重復(fù)地走完七座橋,那是不可能的。
天才的歐拉只用了一步證明,就概括了5040種不同的走法,從這里我們可以看到,數(shù)學(xué)的威力多么大呀!
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