趣味數學]七座橋的故事

趣味數學]七座橋的故事

         沿著俄國和波蘭的邊界，有一條長長的布格河。這條河流經俄國的古城康尼斯堡——它就是今天俄羅斯西北邊界城市加里寧格勒。
　　布格河橫貫康尼斯堡城區(qū)，它有兩條支流，一條稱新河，另一條叫舊河，兩河在城中心會合后，成為一條主流，叫做大河。在新舊兩河與大河之間，夾著一塊島形地帶，這里是城市的繁華地區(qū)。全城分為北、東、南、島四個區(qū)，各區(qū)之間共有七座橋梁聯系著。
　　人們長期生活在河畔、島上，來往于七橋之間。有人提出這樣一個問題：能不能一次走遍所有的七座橋，而每座橋只準經過一次？問題提出后，很多人對此很感興趣，紛紛進行試驗，但在相當長的時間里，始終未能解決。最后，人們只好把這個問題向俄國科學院院士歐拉提出，請他幫助解決。

     公元1737年，歐拉接到了“七橋問題”，當時他三十歲。他心里想：先試試看吧。他從中間的島區(qū)出發(fā)，經過一號橋到達北區(qū)，又從二號橋回到島區(qū)，過四號橋進入東區(qū)，再經五號橋到達南區(qū)，然后過六號橋回到島區(qū)?，F在，只剩下三號和七號兩座橋沒有通過了。顯然，從島區(qū)要過三號橋，只有先過一號、二號或四號橋，但這三座橋都走過了。這種走法宣告失敗。歐拉又換了一種走法：
　　島東北島南島北

     這種走法還是不行，因為五號橋還沒有走過。
　　歐拉連試了好幾種走法都不行，這問題可真不簡單！他算了一下，走法很多，共有
　　7×6×5×4×3×2×1=5040（種）。
　　好家伙，這樣一種方法，一種方法試下去，要試到哪一天，才能得出答案呢？他想：不能這樣呆笨地試下去，得想別的方法。
　　聰明的歐拉終于想出一個巧妙的辦法。他用A代表島區(qū)、B、C、D分別代表北、東、西三區(qū)，并用曲線弧或直線段表示七座橋，這樣一來，七座橋的問題，就轉變?yōu)閿祵W分支“圖論”中的一個一筆畫問題，即能不能一筆頭不重復地畫出上面的這個圖形。
   
　歐拉集中精力研究了這個圖形，發(fā)現中間每經過一點，總有畫到那一點的一條線和從那一點畫出來的一條線。這就是說，除起點和終點以外，經過中間各點的線必然是偶數。像上面這個圖，因為是一個封閉的曲線，因此，經過所有點的線都必須是偶數才行。而這個圖中，經過A點的線有五條，經過B、C、D三點的線都是三條，沒有一個是偶數，從而說明，無論從那一點出發(fā)，最后總有一條線沒有畫到，也就是有一座橋沒有走到。歐拉終于證明了，要想一次不重復地走完七座橋，那是不可能的。
　　天才的歐拉只用了一步證明，就概括了5040種不同的走法，從這里我們可以看到，數學的威力多么大呀！