北京市小學(xué)生第21屆“迎春杯”數(shù)學(xué)科普活動(dòng)日

第1題 計(jì)算： 的值為多少？
答案：30
解： ＝
＝ ＝ ＝30

第2題 污水處理廠有甲、乙兩個(gè)水池，甲池原有水960立方米，乙池原有水90立方米。如果甲池的水以每小時(shí)60立方米的速度流入乙池，問(wèn)：多少小時(shí)后，乙池中的水是甲池的4倍？
答案：12.5
解：因?yàn)樽罱K乙池中的水是甲池的4倍，
所以最終甲池中有水：(960+60)÷(4+1)＝210（立方米）
需要(960-210)÷60＝12.5（小時(shí)）

第3題 將1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入圖1中的9個(gè)圓圈內(nèi)，使圖中每條直線上所填數(shù)之和都等于K，問(wèn)：K的值是多少？（圖中有7條直線）
答案：14
解：如圖，K=A+B+C=D+E+F=H+I，
所以3K=A+B+C+D+E+F+H+I=1+2+3+…+9-G=45-G≤44，即K≤[44÷3]=14
另一方面，K=A+B+C=D+E+F=A+G+H=D+G+I=B+F+I
所以5K=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+(A+B+D+F+G+I)≥45+(1+2+3+4+5+6)=66
所以66÷5=13.2，即K≥14。
所以，K=14。
另外當(dāng)K=14時(shí)，
因?yàn)?4=A+B+C=D+E+F=H+I，所以G=3。
由于只有14=5+9=6+8可供填入A,E，H,I，
又注意到A+G+H=14，即A+H=11，5,6,8,9中只有5+6=11，
所以A=5或A=6；
當(dāng)A=5時(shí)，H=6，I=8，D=3與G=3重復(fù)，不滿(mǎn)足要求；
當(dāng)A=6時(shí)，依次推出H=5，I=9，D=2，E=8，F(xiàn)=4，B=1，C=7。
綜上所述，本題答案為K=14，且只有如圖1D的惟一解。

第4題 實(shí)驗(yàn)小學(xué)六年級(jí)有學(xué)生152人?，F(xiàn)在要選出男生人數(shù)的 和女生5人，到國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)與專(zhuān)家見(jiàn)面。學(xué)校按照上述要求選出若干名代表后，剩下的男、女生人數(shù)相等。問(wèn)：實(shí)驗(yàn)小學(xué)六年級(jí)有男生多少人？
答案：77
解：設(shè)剩下的男、女生分別有x人；則共有男生： ＝1.1x，共有女生x+5人；
由1.1x+ x+5=152，得x=70；所以實(shí)驗(yàn)小學(xué)六年級(jí)有男生1.1×70=77(人)

第5題 小華有糖300克，他有一架天平及重量分別為30克和5克的砝碼。問(wèn)：小華最少用天平稱(chēng)幾次，可以將糖分為兩份，使一份重100克，另一份重200克？
答案：2
解：顯然稱(chēng)一次無(wú)法實(shí)現(xiàn)。下面給出兩種都只需要稱(chēng)2次的方法：
解法一：
（1）先將30克和5克砝碼一起放在天平右邊，稱(chēng)出重量為35克的糖；
（2）再將這35克糖當(dāng)著一個(gè)砝碼，再加上30克的砝碼，再稱(chēng)出30+35=65克糖；
兩部分糖合在一起，正好100克，剩下的恰為200克。
解法二：
（1）先將30克砝碼放在天平一邊，再把300克糖放在天平兩邊，平衡時(shí)天平兩邊分別有糖165、135克；
（2）先將30克和5克砝碼一起放在天平右邊，再把剛才稱(chēng)出的165克糖放在天平兩邊，平衡時(shí)天平兩邊分別有糖100、65克；
已經(jīng)稱(chēng)出100克糖，剩下的65克和剛才稱(chēng)出的135克合起來(lái)為200克。

第6題 甲、乙兩名計(jì)算機(jī)文字錄入人員要共同錄入一份15400字的文稿。當(dāng)甲完成錄入任務(wù)的 ，乙完成錄入任務(wù)的80%時(shí)，兩人尚未錄入的字?jǐn)?shù)相等。問(wèn)：甲的錄入任務(wù)是多少個(gè)字？
答案：8400
解法一：
設(shè)甲、乙兩人的錄入任務(wù)分別為x，y字，據(jù)題意，列方程：
解，得：x=8400，y=7000
解法二：
設(shè)兩人尚未錄入的字?jǐn)?shù)均為1份；那么甲的錄入任務(wù)為6份，乙的錄入任務(wù)為5份，一共11份；這11份就是15400字，那么1份為15400÷11＝1400(字)；所以，甲的錄入任務(wù)為：1400×6＝8400(字)

第7題 如圖2所示，三角形ABC被線段DE分成三角形BDE和四邊形ACDE兩部分，問(wèn)：三角形BDE的面積是四邊形ACDE面積的幾分之幾？
答案：
解：如圖，連接AD，
因?yàn)锽E:BA＝2:(2+6)＝1:4，所以三角形BED與三角形BDA的面積比也為1:4
因?yàn)锽D:BC＝3:(3+4)＝3:7，所以三角形BDA與三角形ABC的面積比也為3:7
所以三角形BED的面積是三角形ABC面積的
所以，三角形BDE的面積是四邊形ACDE面積的

第8題 圖3是一個(gè)奧林匹克五環(huán)標(biāo)識(shí)。這五個(gè)環(huán)相交成9部分A、B、C、D、E、F、G、H、I。請(qǐng)將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入這9個(gè)部分中，使得五個(gè)環(huán)內(nèi)的數(shù)字和恰好構(gòu)成五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。問(wèn)：這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大值是多少？
答案：70
解：∵ B、D、F、H同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)圓圈中而其它數(shù)都只出現(xiàn)在一個(gè)圓圈中
∴ 五個(gè)圓圈中的和為1+2+3+…+9+B+D+F+H＝45+B+D+F+H≤45+9+8+7+6=75
若五個(gè)圓圈中的總和為75，則B+D+F+H=9+8+7+6=30
又∵ 五個(gè)環(huán)內(nèi)的數(shù)字和恰好構(gòu)成五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)
∴ 這五和數(shù)只能是13、14、15、16、17
考慮兩端兩個(gè)圓圈中和的總和，
S=(A+B)+(H+I)≥13+14=27
但B+H≤9+8=17，A+I≤4+5，∴ S最大為26，與上面的結(jié)論矛盾。
∴ 五個(gè)圓圈中的總和不可能為75
又由于五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是5的倍數(shù)
∴ 五個(gè)圓圈中的總和最多為70。
另一方面，五個(gè)圓圈中的總和為70時(shí)，有以下31種解答（左右對(duì)稱(chēng)算同一種）：
（A,B,C,D,E,F,G,H,I）＝
3,9,1,6,5,2,4,8,7； 3,9,1,6,7,2,4,8,5； 3,9,5,2,4,8,1,6,7； 4,8,1,6,5,2,3,9,7； 4,8,2,3,6,5,1,9,7； 4,8,2,5,6,3,1,9,7； 4,8,3,2,7,6,1,9,5； 4,8,5,2,3,9,1,6,7； 4,9,1,6,5,3,2,7,8； 4,9,2,5,6,3,1,8,7； 4,9,2,5,7,3,1,8,6； 5,7,1,6,2,8,3,4,9； 5,7,1,8,2,4,3,6,9； 5,7,3,4,1,8,2,6,9； 5,7,3,6,1,8,2,4,9； 5,8,1,6,2,4,3,7,9； 5,8,1,6,4,2,3,9,7； 5,8,1,7,3,4,2,6,9； 5,8,2,4,1,7,3,6,9； 5,8,3,4,2,6,1,7,9； 5,9,1,6,4,2,3,8,7； 5,9,1,6,4,3,2,7,8； 6,7,2,5,1,9,3,4,8； 6,7,3,5,2,9,1,4,8； 6,8,2,3,4,5,1,9,7； 6,8,2,3,4,9,1,5,7； 6,8,2,5,4,3,1,9,7； 6,8,4,3,1,9,2,5,7； 6,9,2,5,1,7,3,4,8； 6,9,3,4,1,7,2,5,8； 6,9,4,3,2,8,1,5,7；

第9題 有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張。相同顏色的卡片上寫(xiě)相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫(xiě)不同的自然數(shù)。老師把這12張卡片發(fā)給6名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學(xué)生分別求出各自?xún)蓮埧ㄆ蟽蓚€(gè)自然數(shù)的和。六名同學(xué)交上來(lái)的答案分別為：92、125、133、147、158、191。老師看完6名同學(xué)的答案后說(shuō)，只有一名同學(xué)的答案錯(cuò)了。問(wèn)：四種顏色卡片上所寫(xiě)各數(shù)中最小數(shù)是多少？
答案：35或42
解：5名同學(xué)中恰好有兩對(duì)同學(xué)，每對(duì)同學(xué)拿的四張卡片顏色各不相同，這樣他們所拿卡片的和就相等；而6名同學(xué)上交的答案中，只有92+191=125+158=283，所以92，125、158、191這4個(gè)答案都正確。錯(cuò)誤的一定為133或147，下面分情況討論：
設(shè)四種顏色卡片上所寫(xiě)的數(shù)從小到大為：A＜B＜C＜D
（1）錯(cuò)誤的為133，則正確的應(yīng)該是283-147=136
首先有A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191
根據(jù)A+B=92，A+C=125，得C-B=33為奇數(shù)，所以B+C只能為奇數(shù)，得B+C=147
此時(shí)，解為A=35，B=57，C=90，D=101
（2）錯(cuò)誤的為147，則正確的應(yīng)該是283-133=150
同樣的B+C只能為奇數(shù)，得B+C=133，解，得：A=42，B=50，C=83，D=108
綜上所述，四種顏色卡片上所寫(xiě)各數(shù)中最小數(shù)是35或42

第10題 甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，5小時(shí)后相遇在C點(diǎn)。如果甲速度不變，乙每小時(shí)多行4千米，且甲、乙還從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn)D距C點(diǎn)10千米；如果乙速度不變，甲每小時(shí)多行3千米，且甲、乙還從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn)E距C點(diǎn)5千米。問(wèn)：甲原來(lái)的速度是每小時(shí)多少千米？
答案：11
解法一：（方程法）
設(shè)甲、乙兩人原來(lái)的速度分別為x千米/時(shí)，y千米/時(shí)，那么AC=5x，BC=5y，

在第二、三次相遇中利用甲、乙兩人所用時(shí)間相等，可得方程組如下：
，交叉相乘，化簡(jiǎn)，得： ，即
答：甲原來(lái)的速度是每小時(shí)11千米。

解法二：（算術(shù)法）
在第二次相遇中，假設(shè)走滿(mǎn)5小時(shí)，甲走到了C點(diǎn)，乙則走到了F點(diǎn)，
FC長(zhǎng)：4×5＝20(千米)
FD長(zhǎng)：20－10＝10(千米)
所以乙提速4千米/時(shí)后，甲、乙速度比為DC:DF＝10:10＝1:1
同樣的，在第三次相遇中，假設(shè)走滿(mǎn)5小時(shí)，乙走到了C點(diǎn)，甲則走到了G點(diǎn)，
CG長(zhǎng)：3×5＝15(千米)
EG長(zhǎng)：15－5＝10(千米)
所以甲提速3千米/時(shí)后，甲、乙速度比為EG:CE＝10:5＝2:1
這樣，乙速為：(4+3)÷(2-1)×1＝7(千米/時(shí))
所以，甲速為：7+4＝11(千米/時(shí))

第11題 在由25個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的5×5的方格網(wǎng)中有3個(gè)方格內(nèi)已經(jīng)標(biāo)有3個(gè)數(shù)3、4、5（如圖4所示）。請(qǐng)你用一條封閉的折線沿水平或豎直方向把其余22個(gè)方格的中心連接起來(lái)，要求這條折線在標(biāo)有數(shù)字的方格的所有鄰格（鄰格指至少有一個(gè)公共邊界點(diǎn)的兩個(gè)方格）內(nèi)發(fā)生拐彎的次數(shù)恰好與該數(shù)相等。問(wèn)：這條封閉的折線有多少個(gè)拐彎處？（示例圖5中折線有10個(gè)拐彎處）
答案：12
唯一解答如圖4D