“設(shè)而不求”的未知數(shù)
“設(shè)而不求”的未知數(shù)
讓我們先看一道簡單的數(shù)學題．
三角形的面積．
解 設(shè)這個三角形的斜邊長度為c，因為斜邊上的中線長是1，所以斜邊長c=2．再設(shè)兩條直角邊的長度是a，b，面積是S，那么
把②，③代入④式得
在這個題目中，只要求出未知數(shù)S的值，而我們卻設(shè)了三個未知數(shù)：a，b，S，并且在解題過程中，我們也根本沒求a，b的值．但是由于增設(shè)了a，b后，給我們利用等量關(guān)系列方程及方程組求S的值，帶來了很大的便利，像這種未知數(shù)(如a，b)就是本講所要介紹的“設(shè)而不求”的未知數(shù)．
所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設(shè)的一些參數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用．
例2若
求x+y+z的值．
分析 已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時，往往引進一個比例參數(shù)來表示這個連比．
解 令
則有
所以
所以 x+y+Z=0．
說明 本例中所設(shè)的k，就是“設(shè)而不求”的未知數(shù)．
例3 已知p，q，r都是5的倍數(shù)，r＞q＞p，且r=p+10，試求
解 不妨設(shè)p=5k1，q=5k2，r=5k3，由題意可知，k1，k2，k3都是整數(shù)．因為r＞q＞p，所以k3＞k2＞k1．又因為
所以 5k3=5k1+10，
所以 k1+2＞k2＞k1，
所以 k2=k1+1． ②
將①，②代入所求的代數(shù)式得
說明 本題中k1，k2，k3均是“設(shè)而不求”的未知數(shù)．
a＞1，并且設(shè)
分子：n-13=ak1，①
分母：5n+6=ak2．②
其中k1，k2為自然數(shù)．
由①得n=13+ak1，將之代入②得
即 71+5ak1=ak2，
所以 a(k2-5k1)=71．
由于71是質(zhì)數(shù)，且a＞1，所以a＝71，所以
故n最小為84．
例5甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？
解 設(shè)四個人的年齡分別記為a，b，c，d，根據(jù)題意有
由上述四式可知
比較⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得
說明 此題不必求出a，b，c，d的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰，作差即可求解．
例6 設(shè)有n個數(shù)x1，x2，…，xn，它們的值只能是0，1，2三個數(shù)中的一個，如果記
試用f1和f2表示
解 設(shè)在x1，x2，…，xn這幾個數(shù)中取值為0的有s個，取值為1的有t個，取值為2的有r個，則s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得
所以
說明 本題借助于s，t，r找到了fk與f1，f2的關(guān)系表達式．
整除．根據(jù)一個數(shù)能被9整除的特征有
即 α+β+3=9m1(m1為自然數(shù))．
又由于 0≤α≤9，0≤β≤9，則有
從而有
同理，按照一個數(shù)被11整除的特征有
①與②相結(jié)合，并考慮0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4．
所以原自然數(shù)為 6 224 427．
例8 我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù)字對調(diào)，取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))，將所得差的三位數(shù)與此差的個位、百位數(shù)字對調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？
=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)
=99×a-99×c
=100×a-100×c-100+90+10-a+c
=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．
因k是三位數(shù)，所以
所以 2≤10-a+c≤8．
差對調(diào)后為
所以
故 所求為1089．
說明 本例中a，b，c作為參數(shù)被引進，但運算最終又被消去了，而無須求出它們的值．這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子．
在列方程解應用題中，更是經(jīng)常用到增設(shè)參數(shù)的方法，下面再舉幾個例題．
例9 從兩個重量分別為12千克(kg)和8千克，且含銅的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分數(shù)相等．求所切下的合金的重量是多少千克？
分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分數(shù)，因此只有增設(shè)這兩個合金含銅的百分數(shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分數(shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)，才能充分利用已知，為列方程創(chuàng)造條件 ．
解法1 設(shè)所切下的合金的重量為x千克，重12千克的合金的含銅百分數(shù)為p，重8千克的合金的含銅百分數(shù)為q(p≠q)，于是有
整理得 5(q-p)x=24(q-p)．
因為p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．
解法2 設(shè)從重12千克的合金上切下的x千克中含銅m千克，從重8千克的合金上切下的x千克中含銅n千克(m≠n)，則這兩個合金含
整理得 5x(n-m)=24(n-m)．
因為m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．
說明 在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有待求未知數(shù)的一般方程，也就是說應用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無關(guān)．
例10 某隊伍長1998米(m)，在行進中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回，當這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進1998米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行進的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程．
解法1 設(shè)這個戰(zhàn)士走過的路程為s米，所需要的時間為t小時(h)，
消去參數(shù)t得
解之得
解法2 設(shè)這個戰(zhàn)士的行進速度為V1米/小時，隊伍行進的速度為
因此
所以這個戰(zhàn)士所走距離為
說明 在同一個問題中，由于考慮問題的角度不同，所以增設(shè)的參數(shù)也會有所不同(如上例中的兩種解法)．
字)，又N是4的倍數(shù)，且N被11除余5，那么x+y等于多少？
4．五個人要完成某項工作，如果甲、乙、丙三人同時工作需6小時；
時；乙、丙、戊同時工作，需用5小時，問五個人同時工作需用多少小時完成？
5．公共汽車每隔x分鐘(min)發(fā)車一次，小紅在大街上行走，發(fā)
輛公共汽車，如果公共汽車與小紅行進的速度都是勻速的，則x為多少