一元一次方程
一元一次方程
方程是中學數(shù)學中最重要的內(nèi)容．最簡單的方程是一元一次方程，它是進一步學習代數(shù)方程的基礎，很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決．本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧．
用等號連結兩個代數(shù)式的式子叫等式．如果給等式中的文字代以任何數(shù)值，等式都成立，這種等式叫恒等式．一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的．
如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式．條件等式也稱為方程．使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
只含有一個未知數(shù)(又稱為一元)，且其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程．任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的標準形式(最簡形式)．
解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項，化為最簡形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解．
一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定：
(2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?/font>0·x=0，則方程有無數(shù)多個解；
(3)若a=0，且b≠0，方程變?yōu)?/font>0·x=b，則方程無解．
例1 解方程
解法1 從里到外逐級去括號．去小括號得
去中括號得
去大括號得
解法2 按照分配律由外及里去括號．去大括號得
化簡為
去中括號得
去小括號得
例2 已知下面兩個方程
有相同的解，試求a的值．
分析 本題解題思路是從方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．
解 由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根據(jù)方程解的定義，把x=3代入方程②時，應有
例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．
解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由題設知a+2=5，所以a=3．于是有
例4 解關于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
分析 這個方程中未知數(shù)是x，m，n是可以取不同實數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時，方程解的情況．
解 把原方程化為
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．
當m+n≠0，且m=0時，方程無解；
當m+n=0時，方程的解為一切實數(shù)．
說明 含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍．解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個解三種情況進行討論．
例5 解方程
分析 本題將方程中的括號去掉后產(chǎn)生x2項，但整理化簡后，可以消去x2，也就是說，原方程實際上仍是一個一元一次方程．
解 將原方程整理化簡得
即 (a2-b2)x=(a-b)2．
(1)當a2-b2≠0時，即a≠±b時，方程有唯一解
(2)當a2-b2=0時，即a=b或a=-b時，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b時，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數(shù)多個解．
例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值．
解 因為(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，所以
(1)當m=1時，方程變?yōu)?/font>-2x+8=0，因此x=4，代數(shù)式的值為
(2)當m=-1時，原方程無解．
所以所求代數(shù)式的值為1991．
例7 已知關于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值．
解 將原方程變形為
即 (2a-3)x=a-2．
由已知該方程無解，所以
例8 k為何正數(shù)時，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？
來確定：
(1)若b=0時，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立．
(2)若ab＞0時，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程ax=b的解是正數(shù)，則ab＞0成立．
(3)若ab＜0時，則方程的解是負數(shù)；反之，若方程ax=b的解是負數(shù)，則ab＜0成立．
解 按未知數(shù)x整理方程得
要使方程的解為正數(shù)，需要
看不等式的左端
因為k2≥0，所以只要k＞5或k＜2時上式大于零，所以當k＜2或k＞5時，原方程的解是正數(shù)，所以k＞5或0＜k＜2即為所求．
例9 若abc=1，解方程
解 因為abc=1，所以原方程可變形為
化簡整理為
化簡整理為
說明 像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡化．
例10 若a，b，c是正數(shù)，解方程
解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程
ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移項、合并同類項得
因此有
因為a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
即x=a+b+c為原方程的解．
解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?/font>-3，再拆為三個“-1”，并注意到
其余兩項做類似處理．
設m=a+b+c，則原方程變形為
所以
即
所以x=a+b+c為原方程的解．
說明 注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一．
例11 設n為自然數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，解方程：
分析 要解此方程，必須先去掉[ ]，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1)
…，n[x]都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)．
解 根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=[x]，所以原方程化為
合并同類項得
故有
所以x=n(n+1)為原方程的解．
例12 已知關于x的方程
且a為某些自然數(shù)時，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)a的最小值．
解 由原方程可解得
a最小，所以x應取x=160．所以
所以滿足題設的自然數(shù)a的最小值為2．
1．解下列方程：*
2．解下列關于x的方程：
(1)a2(x-2)-3a=x+1；
4．當k取何值時，關于x的方程3(x+1)=5-kx，分別有：(1)正數(shù)解；(2)負數(shù)解；(3)不大于1的解．