神奇的數(shù)學(xué):稀少而有趣的完美數(shù)

神奇的數(shù)學(xué):稀少而有趣的完美數(shù)

　　　　已知自然數(shù)a和b，如果b能夠整除a，就說b是a的一個因數(shù)，也稱為約數(shù)。顯然，任何自然數(shù)a，總有因數(shù)1和a。我們把小于a的因數(shù)叫做a的真因數(shù)。
　　例如6，12，14這三個數(shù)的所有真因數(shù)：
　　6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6
　　12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12
　　14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14
　　像12這樣小于它的真因數(shù)之和的叫做虧數(shù)(不足數(shù))；大于真因數(shù)之和的(如14)叫做盈數(shù)或過剩數(shù)；恰好相等的(如6)叫做完全數(shù)，也稱為完美數(shù)。
　　古希臘人非常重視完全數(shù)。大約在公元100年，尼哥馬修斯寫了第一本專門研究數(shù)論的書《算術(shù)入門》，其中寫道："也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數(shù)的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；所以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多，而且紊亂無章，它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。但是完全數(shù)則易于計數(shù)，而且又順理成章……，它們具有一致的特性；尾數(shù)都是6或8，而且永遠(yuǎn)是偶數(shù)。"
　　現(xiàn)在數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)，完全數(shù)非常稀少，至今人們只發(fā)現(xiàn)29個，而且都是偶完全數(shù)。前5個分別是：6，28，496，8128，33550336。 　　完全數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，例如：
　　1. 它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和：
　　　　6=1+2+3,
　　　　28=1+2+3+4+5+6+7,
　　　　496=1+2+3+4+……+31,
　　　　8128=1+2+3+4+……+127；
　　2. 它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2。
　　　　1/1+1/2+1/3+1/6=2
　　　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2
　　　　1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2