馬芯蘭關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的改革實(shí)驗(yàn)

馬芯蘭關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的改革實(shí)驗(yàn)

馬芯蘭 生于1946年12月，北京市人。1966年畢業(yè)于北京第二師范學(xué)校。中學(xué)高級教師。從1967年至今一直在朝陽區(qū)幸福村中心小學(xué)任教。主要著作有：《小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的能力培養(yǎng)》(上下冊)，《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革嘗試》(共四冊)。所寫論文：《兩個學(xué)習(xí)心理系統(tǒng)的有機(jī)結(jié)合與學(xué)生學(xué)習(xí)的良性循環(huán)》獲北京市教育學(xué)會1985年優(yōu)秀論文一等獎，《改進(jìn)知識結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)能力培養(yǎng)》獲中國教育學(xué)會一等獎。先后獲得：北京市自學(xué)成才先進(jìn)、北京市特級教師、北京市特等勞動模范、全國優(yōu)秀教育工作者、全國“五一”勞動證章、北京市有突出貢獻(xiàn)的專家、北京市共產(chǎn)黨員“十杰”之一、全國巾幗建功先進(jìn)、北京市人民教師“十佳”、全國中青年教師“十杰”等榮譽(yù)稱號。

　　記得小時候，當(dāng)我看到中國被帝國主義侵略，我們的民族慘遭迫害的電影和小說時，我十分氣憤，眼淚不知流了多少。從那時起，我下決心努力學(xué)好本領(lǐng)，長大了為祖國多作貢獻(xiàn)，一定要使自己的祖國富強(qiáng)起來。富強(qiáng)了，別人就不敢欺侮了。

　　1967年我當(dāng)上了一名小學(xué)教師。這給我培養(yǎng)祖國未來的建設(shè)者提供了極好機(jī)會。我下決心把學(xué)生教育好，要他們熱愛祖國，為祖國的富強(qiáng)而努力學(xué)習(xí)。從此我全身心地投入了教學(xué)工作，同我的學(xué)生朝夕在一起。那時，正值十年動亂，什么“白專道路”、“一長制余毒”、“師道尊嚴(yán)”等“帽子”和口號不一而足，滿天飛，把建國17年我國教育事業(yè)抹得一團(tuán)漆黑，使我國廣大教師無所適從，受到嚴(yán)重威脅。對這一切，我沒有怕，也不知道怕，只要讓我上課堂，任憑他人說什么都可以。進(jìn)了課堂，學(xué)生不聽講，我就先給學(xué)生講故事，如《地道戰(zhàn)》，《鋼鐵是怎樣煉成的》以及許多中國人創(chuàng)造發(fā)明的故事等。講一個故事，給學(xué)生講一點(diǎn)兒知識。就這樣，當(dāng)時我班學(xué)生紀(jì)律最好，下班后，我從“紅小兵”扔掉的圖書中撿起一些教科書翻看，漸漸地將解放前后的小學(xué)教材都翻看了。我好像從中發(fā)現(xiàn)了一些什么問題，我又拿起《一千題詳解》、《一題多解》……開始一題一題地算起來。

　　就這樣，別人在搞斗、批、改，我卻走進(jìn)了數(shù)學(xué)的小天地里。邊學(xué)習(xí)邊實(shí)踐，在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中朦朦朧朧有了些新的想法和做法。

　　隨著社會形勢的不斷穩(wěn)定，各級領(lǐng)導(dǎo)開始抓教育質(zhì)量了。下來聽課，出卷考試……對這一切我抱著非常歡迎的態(tài)度。這對我來說是最大的幫助和鞭策?？梢哉f從那時起，我教的班級的數(shù)學(xué)成績就遙遙領(lǐng)先。各級領(lǐng)導(dǎo)和老師們經(jīng)常到我教的班級聽課，他們聽課后都感到在處理教材和教法方面有些新意。面對這些，我從沒驕傲過，因?yàn)槲視r時記住我的工作目的不是這一切，而是要學(xué)生成才，為祖國作貢獻(xiàn)，使祖國富強(qiáng)起來。

　　為了培養(yǎng)合格人才，從小給兒童打下良好基礎(chǔ)，使他們在德、智、體諸方面得到全面發(fā)展，我于1977年秋，從一年級開始，進(jìn)行了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)驗(yàn)。用了三年的時間使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量達(dá)到相當(dāng)于當(dāng)時五年制小學(xué)畢業(yè)的水平。接著從1980年秋季起，又開始第二輪實(shí)驗(yàn)，到1984年夏季，使學(xué)生在四年級時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量達(dá)到相當(dāng)于六年制畢業(yè)水平。在改革數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，所有的講課、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、練習(xí)，都是在課內(nèi)進(jìn)行的，基本上不給學(xué)生布置課外作業(yè)。學(xué)生掌握的基礎(chǔ)知識比較鞏固，基本技能熟練，思維敏捷、靈活，學(xué)習(xí)的積極性、主動性都比較高。1980年有關(guān)部門為了檢查第一個實(shí)驗(yàn)班的學(xué)習(xí)質(zhì)量，曾用小學(xué)升初中的數(shù)學(xué)試題，讓實(shí)驗(yàn)班(當(dāng)時為三年級)學(xué)生做，結(jié)果全班平均成績達(dá)93分。1984年，學(xué)區(qū)用朝陽區(qū)小學(xué)升初中數(shù)學(xué)試題，測驗(yàn)了第二個實(shí)驗(yàn)班，結(jié)果全班42人，平均94分。1987年北京市教育局在全市18個區(qū)縣及燕山、北京鐵路分局所屬230所小學(xué)的400余個教學(xué)班進(jìn)行推廣實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過五年的實(shí)驗(yàn)，取得比較明顯的成效。小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識更系統(tǒng)、更扎實(shí)了，學(xué)生解決問題的能力有了顯著提高，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣更濃了。學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)不重，有較充裕的時間參加自己喜歡的活動，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)中，我努力根據(jù)兒童學(xué)習(xí)過程的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律，運(yùn)用學(xué)習(xí)遷移的原理，通盤改革小學(xué)數(shù)學(xué)的教材和教法。在知識教學(xué)中，突出重點(diǎn)知識的教學(xué)，給基本概念、原理、法則以中心的地位，加強(qiáng)知識的內(nèi)在聯(lián)系，適時進(jìn)行滲透，使學(xué)生形成一個好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；在應(yīng)用題教學(xué)中，突出能力的培養(yǎng)，把培養(yǎng)能力放在中心地位。

一、調(diào)整教材結(jié)構(gòu)，促進(jìn)知識遷移

　　我們以前用的教材，一般講完一個概念、一條法則，接著講一兩個例題，然后讓學(xué)生模仿做幾個練習(xí)。這種教材有兩點(diǎn)不足，一是從知識的傳授來說，教材雖然重視知識的系統(tǒng)性，但平鋪直敘，知識內(nèi)部聯(lián)系不緊密，有些知識跨越程度比較大，形成大大小小的一些教學(xué)難點(diǎn)。二是從能力的培養(yǎng)來說，教材中練習(xí)的分配是分散的、孤立的，技能的遷移性差，難以形成能力。
　　我對小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行改革，是分兩步走的。第一步，根據(jù)知識的內(nèi)在聯(lián)系和兒童智力發(fā)展的規(guī)律，突出教材中那些最基本的概念、法則和原理，并以此為中心，從縱橫兩個方面進(jìn)行重新調(diào)整和組合，把所有有關(guān)的、有聯(lián)系的知識串聯(lián)在一起，做到有綱有目，使之形成為一個新的比較好的知識結(jié)構(gòu)。第二步，根據(jù)培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的需要，自編能力訓(xùn)練的教材，充實(shí)到新的知識結(jié)構(gòu)中去。改革后的教材，把能力訓(xùn)練的教材，作為教材的重要組成部分，是一種知識與能力緊密結(jié)合的新教材。它既有利于知識技能的教學(xué)，又有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的能力。
　　小學(xué)數(shù)學(xué)的最基本的概念，就是指那些在知識與技能的網(wǎng)絡(luò)中，帶有關(guān)鍵性的、普遍的和適用性強(qiáng)的內(nèi)容。如加法的概念、同樣多、差的概念、乘法的意義、小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義、倍的概念等等。抓住這些最基本概念的教學(xué)，就能使知識產(chǎn)生廣泛遷移，使學(xué)生學(xué)習(xí)起來容易理解，同時也有利于記憶。前面談到從縱橫兩個方面對知識進(jìn)行重新調(diào)整和組合，在“縱”的方面，就是按照知識的縱向聯(lián)系，歸結(jié)為計(jì)算和應(yīng)用題兩條線，并使兩條線的知識密切聯(lián)系、互相滲透。基本的概念、法則、原理和數(shù)學(xué)能力是線上的中心環(huán)節(jié)。抓住這些中心環(huán)節(jié)，整條線就帶動起來了。例如，百以內(nèi)加減豎式計(jì)算法則，在計(jì)算這條線上，它是一個基本計(jì)算法則。重點(diǎn)學(xué)好百以內(nèi)加減豎式計(jì)算法則，以后學(xué)習(xí)萬以內(nèi)、多位數(shù)加減計(jì)算時，學(xué)生就可以運(yùn)用舊知識比較容易地掌握新知識，這就是知識遷移的作用。
　　在“橫”的聯(lián)系方面，就是把教材中有橫向聯(lián)系或互逆關(guān)系的知識，編排在一起，形成許多大大小小的“塊”。例如，把十一類一步應(yīng)用題組成一大“塊”，把多位數(shù)加減與小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)加減，多位數(shù)乘除和小數(shù)乘除、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題等分別分成不同的“塊”。十一類一步應(yīng)用題這一大“塊”，又分為四小“塊”，即把原教材中屬于“求和”、“求剩余”的內(nèi)容編為一塊；把屬于比較兩個數(shù)多少的應(yīng)用題編為一塊；把屬于“求相同加數(shù)的和的乘法應(yīng)用題和相應(yīng)的除法應(yīng)用題編為一塊；把屬于比較兩數(shù)倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題編為一塊。然后以基本的概念法則為中心，一塊一塊地進(jìn)行教學(xué)。例如比較兩個數(shù)多少的應(yīng)用題，這一小塊內(nèi)容，“同樣多”和“差”的概念就是學(xué)習(xí)這一塊知識的基本概念。
　　這樣以基本概念、原理、法則為中心，從縱橫兩個方面對原教材從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了調(diào)整和組合，形成了一個新的教材知識結(jié)構(gòu)。

二、突出概念教學(xué)，重視形成知識結(jié)構(gòu)

(一)知識概念教學(xué)
　　改革教材，主要是對原有教材重新進(jìn)行調(diào)整和組合。這就使教材有了一個比較好的知識結(jié)構(gòu)。而要把知識的基本結(jié)構(gòu)教給學(xué)生，關(guān)鍵在于要有好的教學(xué)方法，我根據(jù)兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，在教法改革中充分運(yùn)用知識遷移的原理，突出基本概念的教學(xué)，加強(qiáng)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，適時進(jìn)行滲透，使前面的學(xué)習(xí)為順利地學(xué)習(xí)后面的知識打好基礎(chǔ)，把新舊知識聯(lián)系起來，使學(xué)生形成一個最佳的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這里不是一般地教給學(xué)生一個個知識，而是教給學(xué)生知識的基本結(jié)構(gòu)。這種把教知識變?yōu)榻讨R結(jié)構(gòu)，是我在教學(xué)中特別重視的環(huán)節(jié)。
　　首先，突出基本概念的教學(xué)。對于基本概念、法則、原理的教學(xué)，我常常采用的方法是讓學(xué)生擺一擺，畫一畫，說一說，自己動手操作、練習(xí)；邊觀察、邊說、邊思考，做到眼、手、口、腦并用，使概念的形成經(jīng)過形象化感知、外部言語、再到內(nèi)部言語這樣一個過程。一般來說，對基本概念的講解、推導(dǎo)，不急于求成，一節(jié)課不夠用，就增加時間，直到學(xué)生真正理解，牢固掌握，能舉一反三為止。例如，學(xué)生初學(xué)“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和加減法”這部分知識時，重點(diǎn)抓“和”的概念的教學(xué)。從實(shí)物和圖畫入手，讓學(xué)生把手中的蘋果和梨放在一起，數(shù)一數(shù)共有幾個水果；把桌上的紅粉筆和白粉筆放在一起，數(shù)一數(shù)有幾支粉筆；把長方體的糖和球體的糖放在一起，數(shù)一數(shù)一共是多少，……然后又拿出色彩新穎的圖片，如猴山上的大猴和小猴，草地上的山羊和綿羊，汽車場上的大汽車和小汽車，等等。通過大量的實(shí)物、圖片演示，學(xué)生對“和”的概念就理解和掌握了。學(xué)生掌握了“和”的概念，就為學(xué)習(xí)10以內(nèi)數(shù)的加減法和有關(guān)知識打下了基礎(chǔ)。對于一些比較抽象的基本概念，則寓教學(xué)于日常的活動之中，使學(xué)生對教材有生動形象化的感知。例如，在講解相遇問題時，為了使學(xué)生理解“同時”、“不同地”、“相遇”、“相向而行”、“相背而行”等概念，帶著學(xué)生到操場上做一些活動。把學(xué)生分為兩隊(duì)，分別站在操場兩邊。教師說“走”，兩隊(duì)同時相對行走讓學(xué)生形象地理解“同時”、“相對”的含義。當(dāng)兩隊(duì)遇上時，教師叫“?！?，告訴學(xué)生這是“相遇”，同時讓學(xué)生觀察這時各自走的路程的長是多少，理解在同一時間內(nèi)兩隊(duì)各走的“距離”。這些知識都是相遇問題的難點(diǎn)。學(xué)生有了感性認(rèn)識后，回到課堂上講相遇問題時，就能迎刃而解了。
　　其次，加強(qiáng)知識的訓(xùn)練，形成知識網(wǎng)絡(luò)?？茖W(xué)概念反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系，越是基本的概念，它所反映事物的聯(lián)系就越廣泛、越深刻。突出基本概念的教學(xué)，不是說可以不去注意一般的知識，相反，而是要以最基本的概念為中心，在對概念的理解，運(yùn)用和深化的過程中，不斷把有關(guān)知識聯(lián)系起來，以綱帶目，以點(diǎn)帶面，形成知識網(wǎng)絡(luò)。這種聯(lián)系緊密的知識，就為遷移創(chuàng)造了良好的條件，學(xué)生就能比較順利地理解和掌握新知識。
　　例如，進(jìn)行“同樣多”這個基本概念教學(xué)，可以在逐步加深理解的過程中引出一系列有關(guān)新知識，得到新認(rèn)識，使一個個相關(guān)知識聯(lián)系起來。在比較數(shù)的大小過程中，學(xué)生建立起“同樣多”的概念，以它為中心，學(xué)習(xí)了“求兩數(shù)相差”、“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”、“求比一個數(shù)少幾的數(shù)”這樣一組應(yīng)用題。接著把“同樣多”概念納入加減的計(jì)算中，在計(jì)算2+2+2，5+5等一類練習(xí)題中，引導(dǎo)學(xué)生觀察加數(shù)都相同的特點(diǎn)，進(jìn)而引出新的概念：“相同加數(shù)”和“相同加數(shù)的個數(shù)”，為學(xué)習(xí)乘法意義打下基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)除法意義時，還以“同樣多”為主線，繼續(xù)引申認(rèn)識平均分的意義，從而學(xué)習(xí)了除法的意義。這樣，以“同樣多”這個基本概念，使有關(guān)知識連成線，形成塊，連成網(wǎng)，形成一個較好的知識結(jié)構(gòu)。因此，使這部分知識學(xué)習(xí)起來變得容易些，理解也比較深刻。
　　第三，適時進(jìn)行滲透。在學(xué)習(xí)過程中，有些知識前后聯(lián)系不緊密，有些新知識跨越程度比較大，學(xué)生不容易掌握，成為知識的難點(diǎn)。對于這些新知識，怎樣使前面的學(xué)習(xí)能為后面學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備，怎樣使新舊知識聯(lián)系起來，使遷移能順利地進(jìn)行呢？這就需要在新舊知識之間，架起聯(lián)系的橋梁。這種在前面學(xué)習(xí)時為后面學(xué)習(xí)某些知識的“架橋”工作，也就是為學(xué)習(xí)某些新知識作了準(zhǔn)備，就是滲透。滲透要注意時機(jī)，要結(jié)合學(xué)習(xí)前面的知識自然地進(jìn)行；滲透的內(nèi)容要適度，做到使學(xué)生通過遷移順利地掌握新知識即可。
　　例如：教學(xué)乘法分配律(兩個數(shù)的和與另一個數(shù)相乘，可以用這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把乘得的兩個積相加)是教學(xué)中的難點(diǎn)，需要在前面學(xué)習(xí)某些知識時適時逐漸地進(jìn)行滲透。在學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識時進(jìn)行滲透，如24=20+4，要讓學(xué)生理解后會說：24是由2個十、4個一組成，20與4這兩個數(shù)的和是24。這樣就為學(xué)習(xí)乘法分配律中的“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘”進(jìn)行了滲透。在學(xué)習(xí)乘法意義時，又進(jìn)行滲透，如34×12，讓學(xué)生逐步明白：10個34加上2個34就是12個34，這樣既加深了對乘法意義的理解，又為學(xué)習(xí)乘法分配律進(jìn)行了滲透。再如應(yīng)用題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生掌握應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的能力是教學(xué)的難點(diǎn)，需要及早地不斷地進(jìn)行滲透。我在教“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，就開始有目的地滲透簡單一步應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的知識。如，講“3”的時候，先拿出兩輛汽車的圖形，又拿出一輛汽車的圖形，接著演示說：“停車場原有兩輛汽車，又開來一輛，停車場共有幾輛汽車？”然后，讓學(xué)生學(xué)著說。這里不是單純講“3”，還使學(xué)生對一步應(yīng)用題是由兩個條件、一個問題構(gòu)成的基本結(jié)構(gòu)有個初步的印象。
　　由此可見，教法改革的立足點(diǎn)，是以遷移為中心，教給學(xué)生知識的基本結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的頭腦中形成一個最佳的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。突出基本概念的教學(xué)，以基本概念為中心，不斷運(yùn)用概念，引申概念，加強(qiáng)知識內(nèi)部的聯(lián)系，對于那些前后聯(lián)系不緊密、學(xué)習(xí)難度大的知識，適時地不斷地進(jìn)行滲透，在多種聯(lián)系和不斷滲透中突出重點(diǎn)，回到最基本的概念、原理。這樣既掌握了重點(diǎn)知識，又理解了一般知識。我從教改實(shí)踐中體會到，學(xué)習(xí)知識的基本結(jié)構(gòu)，即懂得基本原理，使得知識更容易理解；有利于記憶；能使知識、技能、方法得到廣泛遷移。一句話，學(xué)習(xí)和掌握知識結(jié)構(gòu)能使學(xué)生學(xué)習(xí)起來容易些，理解深些，學(xué)得快些。這不正是我們教改追求的目標(biāo)嗎？

三、應(yīng)用題教學(xué)，重在能力培養(yǎng)
　　應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是個難點(diǎn)。對于各種各類應(yīng)用題，過去的教材內(nèi)容比較分散，教學(xué)時間長，教師只能一類一類問題地教，一個一個例題地講，學(xué)生反反復(fù)復(fù)地練。這種教學(xué)方法，偏重技能的訓(xùn)練，沒有突出能力的培養(yǎng)，結(jié)果學(xué)生負(fù)擔(dān)重，教學(xué)效果不佳。
　　能力是什么？能力是與活動聯(lián)系在一起的，從事任何活動都必須具備相應(yīng)的能力。每一種活動都對人的心理過程、分析的能力、反應(yīng)的速度、個性的特征提出某些要求。能力就是人的這些心理特征，符合于相應(yīng)活動的要求，并且是順利地、高質(zhì)量地完成這種活動的條件。我在改革教材的基礎(chǔ)上，對應(yīng)用題的教學(xué)，突出地抓住了數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。在培養(yǎng)能力方面，主要有三個特點(diǎn)：
(一)抓住特殊能力--數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
　　近十年來，許多教師對教學(xué)進(jìn)行改革，重視能力的培養(yǎng)，注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力、想象能力、記憶能力等。我覺得這些能力屬于一般能力。而學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是分學(xué)科進(jìn)行的，不同學(xué)科還有不同的特殊能力。如語文能力、數(shù)學(xué)能力、生物能力、音樂能力等等。我們要使培養(yǎng)能力的教學(xué)改革深入下去，取得更好的成效，就不能停留在培養(yǎng)一般能力，而要深入到學(xué)科，根據(jù)學(xué)科本身的特點(diǎn)，研究如何培養(yǎng)學(xué)科的能力。這是培養(yǎng)能力如何深入的一個重要問題。我注重抓住特殊能力——數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。我根據(jù)小學(xué)生智力發(fā)展的特點(diǎn)，主要培養(yǎng)掌握數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的能力、邏輯思維能力，思維的靈活性和數(shù)學(xué)概括能力。以掌握數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的能力為例。什么叫數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)？通常人們在解答一個問題前，必須先了解這個問題，分析這個問題，找出問題的已知條件和要求，這就要進(jìn)行分析、綜合研究條件之間的關(guān)系，條件與問題之間的關(guān)系，然后把這些成分綜合成一個整體，抓住問題中具有本質(zhì)意義的那些關(guān)系。這就是抓住了數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)?！澳芰?qiáng)的學(xué)生拿到一道數(shù)學(xué)題時，一眼就看出了問題的結(jié)構(gòu)，就能把已知條件聯(lián)系起來，而數(shù)學(xué)能力平常的學(xué)生遇到一類新問題時，一般說來，他們只是感知問題孤立的數(shù)學(xué)成分，并不理解這個問題。對于平常的學(xué)生來說，特別重要的是要能通過分析和綜合過程把問題的各種成分聯(lián)系起來?！?克魯切茨基《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》252、254頁)我在教一步應(yīng)用題時，就著重地抓了數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練。如畫線段圖的訓(xùn)練，補(bǔ)充問題與條件的訓(xùn)練，題意不變改變敘述方法的訓(xùn)練，自編應(yīng)用題的訓(xùn)練，根據(jù)問題說出所需條件的訓(xùn)練，對比訓(xùn)練等。在講兩步應(yīng)用題時，重點(diǎn)上了兩步應(yīng)用題的“結(jié)構(gòu)課”，同時進(jìn)行變直接條件為間接條件，變換問法，讓學(xué)生擴(kuò)題、縮題、拆題，看問題要條件等四個方面的訓(xùn)練。講多步復(fù)雜應(yīng)用題時，又進(jìn)行了多步應(yīng)用題的“發(fā)散思維課”及相應(yīng)的各種訓(xùn)練。通過一系列的教學(xué)和訓(xùn)練，使每個學(xué)生都掌握了應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的能力。
(二)重視解題思路的訓(xùn)練
　　應(yīng)用題之所以難學(xué)，問題本身一般比較復(fù)雜是一個原因，但從教學(xué)法來說，更重要的是解題思路(思維過程的順序、步驟與方法)缺乏應(yīng)有的訓(xùn)練，使許多學(xué)生感到問題無從下手，不知道怎樣去想。對于這一點(diǎn)，我們只要把它同計(jì)算題作一比較，就清楚了。如做計(jì)算題時，學(xué)生對運(yùn)算法則、運(yùn)算順序和步驟，都是清清楚楚的。學(xué)生的思維過程同運(yùn)算順序是一致的。計(jì)算的每一步都在式子里反映出來，看得見、摸得著，學(xué)生計(jì)算得對與錯一目了然。計(jì)算題通過訓(xùn)練學(xué)生容易掌握。而解應(yīng)用題就不同了，學(xué)生要了解題意，分析條件與條件之間，條件與問題之間的各種數(shù)量關(guān)系，要通過分析、綜合，找到解題的途徑和方法。從審題到列出式子，思維過程少則也有幾步，都是用內(nèi)部言語的形式進(jìn)行的。這種用內(nèi)部言語進(jìn)行的思維過程，教師既難以知道學(xué)生的思維是否合理、正確，有無錯誤，更難以進(jìn)行有針對性地訓(xùn)練。對于這樣的問題，我根據(jù)學(xué)生智力活動的形成是從外部言語到內(nèi)部言語這個特點(diǎn)，在應(yīng)用題教學(xué)中設(shè)計(jì)了一套教學(xué)方法，使學(xué)生的解題思維過程化，有計(jì)劃有步驟地訓(xùn)練學(xué)生的解題思路。下面是我的訓(xùn)練方法：
　　1．讀題。通過讀題使學(xué)生理解題中的情節(jié)和事理，知道題中講的是什么事；已知條件中，哪個是直接條件，哪個是間接條件，條件與條件、條件與問題是什么關(guān)系。讀題的過程，就是了解題意的過程。
　　2．畫批。就是把題中的重點(diǎn)詞、句和思維分析、判斷的結(jié)果，用文字、符號(箭頭、著重點(diǎn)、圓圈、橫直線、曲線等)劃出來，主要目的是為了了解每個數(shù)量的意義及數(shù)量間的內(nèi)在關(guān)系。
　　3．畫圖。就是畫線段圖，用線段把題中所講的各個數(shù)量及其相互關(guān)系表示出來，直觀地、形象地反映應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系。
　　4．說理。說理就是在分析解答應(yīng)用題的過程中，讓學(xué)生用清晰、簡潔、準(zhǔn)確的語言，說出自己分析解答應(yīng)用題的思維過程及相應(yīng)的道理。
　　通過上述讀、畫、說，學(xué)生把解題的內(nèi)在思維過程，變?yōu)橥庠诘谋憩F(xiàn)形式，這就非常有利于訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生解題過程中思維的有序性和合理性，有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力，解決了應(yīng)用題教學(xué)中的一大難點(diǎn)。
(三)以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力為中心，進(jìn)行系統(tǒng)的訓(xùn)練
　　我在應(yīng)用題教學(xué)中，改變了那種一類一類問題地教、一個一個例題地講的教學(xué)方法，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力為中心，重新設(shè)計(jì)編排一套練習(xí)，反復(fù)地系統(tǒng)地進(jìn)行訓(xùn)練。這種訓(xùn)練的目的不是停留在一問一答單純解題式的技能訓(xùn)練，而是著眼于培養(yǎng)舉一反三和思維的靈活性，形成數(shù)學(xué)能力。因此，在我的重新編排的練習(xí)題中，不僅有問題的解答訓(xùn)練，而更多的是各種思維訓(xùn)練：有擴(kuò)題、縮題、拆題、編題的訓(xùn)陳，還有發(fā)散思維訓(xùn)練，對比訓(xùn)練，一題多變訓(xùn)練，一題多解的訓(xùn)練，系統(tǒng)思維訓(xùn)練等。為了進(jìn)行這些訓(xùn)練，我采用了“結(jié)構(gòu)課”、“思維分析課”、“變式課”、“發(fā)散思維課”等形式的教學(xué)結(jié)構(gòu)和一系列培養(yǎng)能力的教學(xué)方法。下面，以兩步應(yīng)用題的“變式課”為例，說明我是怎樣進(jìn)行思維訓(xùn)練的。
　　“變式課”的教學(xué)，有五種基本做法。
　　1．改變敘述方法。就是題意不變，僅改變題中某些詞、句的敘述方法。
　　2．改變重點(diǎn)詞語。重點(diǎn)詞語是連接條件與條件，條件與問題的紐帶。它是引導(dǎo)學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，尋求解題方法的主要線索。
　　3．改變條件。就是把直接條件改變成間接條件，把間接條件改變成直接條件，應(yīng)用題的問題不變。
　　4．改變問題。就是條件不變，只改變應(yīng)用題的問題。改變應(yīng)用題的問題，不僅使題意發(fā)生了變化，而且使解題的思路和具體方法都隨之發(fā)生了變化。
　　5．改變條件和問題。就是把應(yīng)用題中的條件(直接條件或間接條件)改變成問題，把問題改變成條件(直接條件或間接條件)，使題意大變。從而導(dǎo)致分析方法、解題方法的改變。
　　“變式課”的教學(xué)過程，就是數(shù)量關(guān)系不斷進(jìn)行變化的過程。由于“變式課”形式的多樣性、靈活性和復(fù)雜性，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和深刻性。思維越廣闊，變的途徑就越多；思維越靈活，變的式樣就越新穎；思維越深刻，變的內(nèi)容就會越復(fù)雜。所以“變式課”的教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
　　能力永遠(yuǎn)指的是某種活動的能力，能力只能在活動中形成。能力不僅是知識、技能的掌握，而具有心理過程的個性特征，這種心理特征是在掌握知識、技能的過程中發(fā)展和形成的。培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力就要通過數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用和練習(xí)來進(jìn)行，光靠教師的講解，是培養(yǎng)不出能力來的。正因?yàn)槿绱?，培養(yǎng)能力的教學(xué)，一是改革教材，重新編排練習(xí)，并使練習(xí)成為教材的重要組成部分；二是改革教法，重在選用培養(yǎng)能力的教學(xué)方法。